Протащить тело через себя: 8 из 13 архимедовых тел обладают свойством Руперта

21 июня 2018 года

В журнале American Mathematical Monthly опубликована статья Rupert Property of Archimedean Solids, доказывающая, что из 13-ти архимедовых тел 8 обладают свойством Руперта, то есть в них можно проделать отверстие, через которое возможно протащить копию изначального многогранника.

Задача о кубе принца Руперта, по словам английского математика Дж. Валлиса, была сформулирована в 1693 году принцем Рупертом Пфальцским, известным представителем роялистов в ходе английской Гражданской войны.

Изначальный вопрос состоял в том, можно ли проделать в кубе отверстие, чтобы он при этом не распался на части и через него можно было протащить куб такого же размера. Принц поспорил, что это возможно, и с помощью придумавшего решение Валлиса победил в споре.

Следом возник такой вопрос: куб какого наибольшего размера можно протащить через отверстие в единичном кубе? Решение Валлиса, заключавшееся в протаскивании одного куба вдоль пространственной диагонали другого, позволяло протащить только куб со стороной ${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\approx 1.035$.

Спустя примерно сто лет после формулировки задачи голландский математик Питер Ньюланд (нидерл. Pieter Nieuwland) показал, что возможно протащить куб со стороной $3{\sqrt {2}}/4\approx 1.061$ — чуть больше, чем у Валлиса — если протаскивать его не вдоль пространственной диагонали. Также Ньюланд доказал, что это число оптимально, то есть куб большего размера протащить нельзя ни при каком выборе отверстия.

• 
  Единичный куб с прорезанным в нём отверстием, через которое может пройти куб со стороной $3{\sqrt {2}}/4\approx 1.061$.
• 
  Пространственная диагональ куба (синяя) и диагональ грани куба (красная).

Задача о кубе принца Руперта часто приводилась в книжках по развлекательной математике, наряду с задачей о перемещении дивана, при этом порой демонстрировалось решение Валлиса вместо оптимального.

Свойство многогранника, заключающееся в том, что в нём можно проделать отверстие, через которое возможно протащить копию изначального многогранника, было названо свойством Руперта.

Возник вопрос о том, какие многогранники обладают этим свойством: в первую очередь были исследованы правильные многогранники и многогранники, близкие к правильным, поскольку для них задача проще.

В 1968 году свойство Руперта было доказано для правильных тетраэдра и октаэдра, а в 2016 году — для правильных додекаэдра и икосаэдра. Таким образом, в любом правильном многограннике через подходящее отверстие можно протащить его копию.

Правильные многогранники — октаэдр, тетраэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр — обладают свойством Руперта.

24 мая 2018 года American Mathematical Monthly была опубликована статья Rupert Property of Archimedean Solids за авторством трёх математиков, в которой доказывается, что не только правильные многогранники, но и 8 из 13 архимедовых тел обладают свойством Руперта (см. внизу).

Архимедовы тела — это неправильные, но очень симметричные многогранники. Если все грани правильного многогранника — одинаковые правильные многоугольники, то грани архимедова тела делятся на две группы и каждая состоит из одинаковых правильных многоугольников. Также требуется, чтобы для любых двух вершин существовала симметрия многогранника, переводящая одну в другую.

Названы архимедовыми они в честь древнегреческого учёного Архимеда Сиракузского, который, как пишет Папп Александрийский, впервые перечислил их. Традиционно считается, что архимедовых тел именно 13, хотя ещё 3 многогранника и 2 бесконечных серии многогранников (призмы и антипризмы) удовлетворяют определению выше.

• Восемь архимедовых тел, про которые доказано свойство Руперта.
• 
  Кубооктаэдр
• 
  Усечённый куб
• 
  Усечённый октаэдр
• 
  Ромбокубооктаэдр
• 
  Усечённый кубооктаэдр
• 
  Икосододекаэдр
• 
  Усечённый додекаэдр
• 
  Усечённый икосаэдр

Источники

• Ying Chai, Liping Yuan, Tudor Zamfirescu «Rupert Property of Archimedean Solids». The American Mathematical Monthly, 24 мая 2018 года. (архив) Статья на сайте Research Gate.

Комментарии

Викиновости и Wikimedia Foundation не несут ответственности за любые материалы и точки зрения, находящиеся на странице и в разделе комментариев.

Мнения

Пожалуйста, прочтите правила общения и оформления реплик на портале Викиновости

Если вы хотите сообщить о проблеме в статье (например, фактическая ошибка и т. д.), пожалуйста, используйте обычную страницу обсуждения.

Комментарии на этой странице могут не соответствовать политике нейтральной точки зрения, однако, пожалуйста, придерживайтесь темы и попытайтесь избежать брани, оскорбительных или подстрекательных комментариев. Попробуйте написать такие комментарии, которые заставят задуматься, будут проницательными или спорными. Цивилизованная дискуссия и вежливый спор делают страницу комментариев дружелюбным местом. Пожалуйста, подумайте об этом.

Несколько советов по оформлению реплик:

• Новые темы начинайте, пожалуйста, снизу.
• Используйте символ звёздочки «*» в начале строки для начала новой темы. Далее пишите свой текст.
• Для ответа в начале строки укажите на одну звёздочку больше, чем в предыдущей реплике.
• Пожалуйста, подписывайте все свои сообщения, используя четыре тильды (~~~~). При предварительном просмотре и сохранении они будут автоматически заменены на ваше имя и дату.

Обращаем ваше внимание, что комментарии не предназначены для размещения ссылок на внешние ресурсы не по теме статьи, которые могут быть удалены или скрыты любым участником. Тем не менее, на странице комментариев вы можете сообщить о статьях в СМИ, которые ссылаются на эту заметку, а также о её обсуждении на сторонних ресурсах.

Добавить комментарий